Procedimento di gram-schmidt

Calcolatrice di Gram-Schmidt

Descrizione del problemaDato un insieme di M segnali S = {s1(t), . . . . sM(t)} per t [0, T], vogliamo trovare una base ortonormale {1(t), . . . . , N(t)} per t [0, T] tale che:Per tutti gli n {1, . . . , N} ePer tutti gli n m

Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Fase 2Computare: Calcolare: d2(t) = s2(t) c2,11(t) Se d2(t) = 0 andare al punto 3. Altrimenti calcolare:Definire:È relativamente semplice dimostrare che ora abbiamo la nostra seconda funzione di base.

Procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt Fase 3Figura:Calcolo:Calcolo: d3(t) = s3(t) c3,11(t) c3,22(t) Se d3(t) = 0 passare alla Fase 4. Altrimenti calcolare:Definire:È relativamente semplice dimostrare che La prova che 3(t) è ortogonale a 1(t) e 2(t) comincia a diventare noiosa, ma è fattibile. Ora abbiamo la nostra terza funzione base

Commenti e conclusioniLe funzioni base non sono uniche. Ad esempio, è possibile riordinare l’insieme dei segni S e ottenere una base diversa. Il numero di funzioni nella base (N) è unico. Si noti che 1 N M.Il passorally calcola la proiezione del segnale sm(t) su ciascuna delle funzioni base precedentemente calcolate. Se sm(t) può essere espresso completamente da queste funzioni base, cioè: allora nessuna funzione base sarà creata da sm(t) (perché dm(t) = 0).

Il passo generale dell’algoritmo consiste nel sottrarre al vettore v j +1 la sua proiezione ortogonale sul sottospazio generato da v 0 , …, v j . Per il calcolo di questo progetto ci si affida alla famiglia ortonormale già costruita.

pagrojtu(v)=⟨tu,v⟩⟨tu,tu⟩tu.{{displaystyle mathrm {proj} {{ mathbf {u}} \, (\ mathbf {v}) = {angolo \ mathbf {u}, \ mathbf {v} \ rangle \ over langle \ mathbf {u }, mathbf {u} \ \ rangle} \ Il processo di Gram-Schmidt è quindi:

tu3=v3-pagrojtu1(v3)-pagrojtu2(v3),{\Displaystyle mathbf {u} _ {3} = \hbf {v} _ {3} – \ mathrm {proj} {3} – mathrm {proj} _ {1}} \, (\ mathbf {v} _ {3}) – \ mathrm {proj} {{ mathbf {u} _ {2}} \, (\ mathbf {v} _ {3}),}

Durante questa settimana abbiamo introdotto il concetto di basi ortogonali e ortonormali, nonché alcune proprietà speciali. Per poter applicare i risultati che abbiamo visto, è necessario insistere sul fatto che le basi siano di questo tipo (ortonormali). Ora vedremo come trovare le basi ortonormali utilizzando un processo chiamato processo di Gram-Schmidt.

La risposta alla prima domanda è “no, non è difficile”, e proprio la risposta alla seconda domanda è la giustificazione. Data una qualsiasi base dello spazio vettoriale, possiamo costruire una base ortonormale dello stesso spazio grazie al seguente teorema.

Questo processo di costruzione è meglio conosciuto come processo di Gram-Schmidt. La prova fornisce allo stesso tempo un algoritmo che ci permette di trovare basi ortogonali (e di fatto ortonormali). Ne vedremo degli esempi nella prossima sezione. Prima di ciò, dichiareremo formalmente una delle conclusioni più importanti del teorema di cui sopra.

\begin{align*} z_3&=v_3- \angolo v_3,e_1 \rangolo e_1 – \angolo v_3, e_2 \rangle e_2 \&=(1+x^2)-int_0^1 (1+x^2)dx – 12left(x-frac{1}{2}right)\int_0^1 (1+x^2)\left(x-frac{1}{2}right)dx \=1+x^2- \left(1+\frac{1}{3}\right)-12\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{12}\right) \\&=x^2-\frac{1}{3}-x+\frac{1}{2} \\&=x^2-x+\frac{1}{6},\end{align*}